미적분Ⅰ부정적분과 정적분수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

적분 방정식

문제

상수함수가 아닌 다항함수 f(x)f ( x )가 모든 실수 xx에 대하여 ∫1xf(t)dt={f(x)}2\displaystyle \int _{1} ^{x} f ( t ) dt = \left\{ f ( x ) \right\} ^{2} 을 만족시킬 때, f(3)f ( 3 )의 값은?[3점] ①11②22③33④44⑤55

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①

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해설

[출제의도] 정적분과 미분의 관계를 이해할 수 있는지 묻는 문제이다. 주어진 등식의 양변을 xx에 대하여 미분하면 f(x)=f′(x)f(x)+f(x)f′(x)f ( x ) = f' ( x ) f ( x ) + f ( x ) f' ( x )이므로 f(x){1−2f′(x)}=0f ( x ) \left\{ 1 - 2 f' ( x ) \right\} = 0이다. 이때, 함수 f(x)f ( x )는 상수함수가 아닌 다항함수이므로 f′(x)=12\displaystyle f' ( x ) = \frac{1}{2}이다. 이때, f(1)=0f ( 1 ) = 0이므로 f(x)=12x−12\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} ∴\therefore f(3)=1f ( 3 ) = 1

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#정적분으로 정의된 함수

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