대수삼각함수의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

제이코사인법칙 증명

문제

다음은 삼각형의 변의 길이와 각의 코사인 사이의 관계인 제이코사인법칙을 △ABC\mathrm{\triangle} ABC에서 ∠A\mathrm{\angle} A가 둔각인 경우에 대하여 증명한 것이다.

[ 증 명 ]
오른쪽 그림과 같이 세 변의 길이가 a,b,ca , b , c 인 △ABC\mathrm{\triangle} ABC를 좌표평면의 원점에 꼭짓점 A\mathrm{A}가 놓이도록 하자. 꼭짓점 C\mathrm{C}의 좌표를 (x,y)( x , y )라 하면, x=□(가)x = \square {\text{(가)}}, y=□(나)y = \square {\text{(나)}}이므로, 피타고라스의 정리에 의하여 다음이 성립한다. a2=(□(다))2+y2=b2+c2−2bccos⁡Aa ^{2} = \left( \square {\text{(다)}} \right) ^{2} + y ^{2} = b ^{2} + c ^{2} - 2 bc \cos A

꼭짓점 C\mathrm{C}의 좌표를 (x,y)( x , y )라 하면, x=□(가)x = \square {\text{(가)}}, y=□(나)y = \square {\text{(나)}}이므로, 피타고라스의 정리에 의하여 다음이 성립한다. a2=(□(다))2+y2=b2+c2−2bccos⁡Aa ^{2} = \left( \square {\text{(다)}} \right) ^{2} + y ^{2} = b ^{2} + c ^{2} - 2 bc \cos A

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 순서대로 적으면? [1점] (가) (나) (다) ①bcos⁡Ab \cos A, bsin⁡Ab \sin A, c+xc + x②bcos⁡Ab \cos A, bsin⁡Ab \sin A, c−xc - x③bcos⁡Ab \cos A, −bsin⁡A- b \sin A, c+xc + x④−bcos⁡A- b \cos A, −bsin⁡A- b \sin A, c−xc - x⑤−bcos⁡A- b \cos A, −bsin⁡A- b \sin A, c+xc + x

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②

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해설

CC에서 xx축에 내린 수선의 발을 HH라 하면 x=−bcos⁡(π−A)x = - b \cos ( \pi - A )=[bcos⁡A]= [ b \cos A ] y=bsin⁡(π−A)y = b \sin ( \pi - A )=[bsin⁡A]= [ b \sin A ] △CHB\triangle CHB에서 a2=BC‾2\displaystyle a ^{2} = \overline{BC} ^{2}=CH‾2+BH‾2\displaystyle = \overline{CH} ^{2} + \overline{BH} ^{2}=(HA‾+AB‾)2+CH‾2\displaystyle = ( \overline{HA} + \overline{AB} ) ^{2} + \overline{CH} ^{2} =(−bcos⁡A+c2)+y2= ( - b \cos A + c ^{2} ) + y ^{2}=[(c−x)2]+y2= [ ( c - x ) ^{2} ] + y ^{2}

태그

#코사인법칙#좌표

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