공통수학1이차방정식과 이차함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

제한된 범위 최솟값

문제

2≤x≤42 \leq x \leq 4에서 이차함수 y=x2−4ax+4a2+by = x ^{2} - 4 ax + 4 a ^{2} + b의 최솟값이 44가 되도록 하는 두 실수 aa, bb에 대하여 2a+b2 a + b의 최댓값을 MM이라 하자. 4M4 M의 값을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 이차함수와 직선을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 2≤x≤42 \leq x \leq 4에서 이차함수 y=(x−2a)2+by = ( x - 2 a ) ^{2} + b는 그래프의 축 x=2ax = 2 a의 위치에 따라 최솟값을 갖는 xx의 좌표가 달라진다. (ⅰ) a<1a < 1인 경우, 함수의 최솟값은 x=2x = 2일 때 (2−2a)2+b=4\left( 2 - 2 a \right) ^{2} + b = 4이므로 b=−4(a−1)2+4b = - 4 ( a - 1 ) ^{2} + 4 (ⅱ) 1≤a<21 \leq a < 2인 경우, 함수의 최솟값은 꼭짓점의 yy좌표이므로 b=4b = 4 (ⅲ) a≥2a \geq 2인 경우, 함수의 최솟값은 x=4x = 4일 때 (4−2a)2+b=4\left( 4 - 2 a \right) ^{2} + b = 4이므로 b=−4(a−2)2+4b = - 4 ( a - 2 ) ^{2} + 4 그러므로

−4(a−1)2+4- 4 ( a - 1 ) ^{2} + 4(a<1)\left( a < 1 \right)
b={\displaystyle b = {\begin{cases} \begin{aligned} \\ \\ \end{aligned} & \\ & \end{cases}}
44(1≤a<2)\left( 1 \leq a < 2 \right)
−4(a−2)2+4- 4 ( a - 2 ) ^{2} + 4(a≥2)\left( a \geq 2 \right)

2a+b=k2 a + b = k라 두면

b=−2a+kb = - 2 a + k

b=−4(a−2)2+4b = - 4 ( a - 2 ) ^{2} + 4와 b=−2a+kb = - 2 a + k가 접할 때 kk는 최댓값을 갖는다. 따라서 M=334\displaystyle M = \frac{33}{4}이고 4M=334 M = 33

태그

#이차함수 최대최소#제한된 범위

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