공통수학1이차방정식과 이차함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

제한된 범위 최댓값

문제

이차함수 $f ( x )$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $x$ 에 대한 방정식 $f ( x ) = 0$ 의 두 근은 $- 2$ 와 $4$ 이다. (나) $5 \leq x \leq 8$ 에서 이차함수 $f ( x )$ 의 최댓값은 $80$ 이다.

$f ( - 5 )$ 의 값을 구하시오. [4점]

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[출제의도] 이차함수의 성질 추론하기 조건 (가)에서 $f ( x ) = a ( x + 2 ) ( x - 4 )$ 라 두면 $f ( x ) = a ( x - 1 ) ^{2} - 9 a$ 이다. (단, $a$ 는 상수) 조건 (나)에서 ⅰ) $a > 0$ 이면 $x = 8$ 에서 최댓값 $80$ 을 가지므로 $40 a$ $= 80$ 즉, $a = 2$ 이다. ⅱ) $a < 0$ 이면 $x = 5$ 에서 최댓값 $80$ 을 가지므로 $7 a = 80$ 즉, $\displaystyle a = \frac{80}{7}$ 이다. (부적합) ⅰ), ⅱ)에 의해 $a = 2$ 이다. 따라서 $f ( x ) = 2 ( x + 2 ) ( x - 4 )$ 이고, $f ( - 5 ) = 54$ 이다.

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