제한 범위 이차부등식

[출제의도] 이차함수의 성질을 이용하여 이차부등식 문제 해결하기 $f ( x ) = x ^{2} - 4 x - 4 k + 3$ $( 3 \leq x \leq 5 )$라 하면 $f ( x ) = ( x - 2 ) ^{2} - 4 k - 1$ $( 3 \leq x \leq 5 )$이다.

그림과 같이 $f ( x )$의 그래프는 아래로 볼록이고 대칭축이 $x = 2$인 그래프의 일부분이므로 $3 \leq x \leq 5$에서 $f ( x ) \leq 0$이 항상 성립하려면 $f ( 5 ) \leq 0$ $\left( \because f ( 3 ) < f ( 5 ) \right)$ 이어야 한다. $f ( 5 ) = 25 - 20 - 4 k + 3$$= 8 - 4 k \leq 0$ 이므로 $k \geq 2$ 이다. 따라서 $k$의 최솟값은 $2$이다.