대수수학적 귀납법AI발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

제곱의 역수 차 합의 빈칸

문제

다음은 자연수 nn에 대하여 ∑k=1n2k+1k2(k+1)2\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{2 k + 1}{k ^{2} ( k + 1 ) ^{2}}을 구하는 과정이다.

2k+1k2(k+1)2=(k+1)2−k2k2(k+1)2=1k2−\displaystyle \frac{2 k + 1}{k ^{2} ( k + 1 ) ^{2}} = \frac{( k + 1 ) ^{2} - k ^{2}}{k ^{2} ( k + 1 ) ^{2}} = \frac{1}{k ^{2}} - (가) 이므로 ∑k=1n2k+1k2(k+1)2=(112−122)+(122−132)+⋯+(1n2−1(n+1)2)\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{2 k + 1}{k ^{2} ( k + 1 ) ^{2}} = \left( \frac{1}{1 ^{2}} - \frac{1}{2 ^{2}} \right) + \left( \frac{1}{2 ^{2}} - \frac{1}{3 ^{2}} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n ^{2}} - \frac{1}{( n + 1 ) ^{2}} \right) == (나)

위의 과정에서 (가)에 알맞은 식을 f(k)f ( k ), (나)에 알맞은 식을 g(n)g ( n )이라 할 때, f(4)+g(4)f ( 4 ) + g ( 4 )의 값을 구하시오. [3점]

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해설

(k+1)2−k2k2(k+1)2=(k+1)2k2(k+1)2−k2k2(k+1)2=1k2−1(k+1)2\displaystyle \frac{( k + 1 ) ^{2} - k ^{2}}{k ^{2} ( k + 1 ) ^{2}} = \frac{( k + 1 ) ^{2}}{k ^{2} ( k + 1 ) ^{2}} - \frac{k ^{2}}{k ^{2} ( k + 1 ) ^{2}} = \frac{1}{k ^{2}} - \frac{1}{( k + 1 ) ^{2}} 이므로 f(k)=1(k+1)2\displaystyle f ( k ) = \frac{1}{( k + 1 ) ^{2}} (112−122)+(122−132)+⋯+(1n2−1(n+1)2)\displaystyle \left( \frac{1}{1 ^{2}} - \frac{1}{2 ^{2}} \right) + \left( \frac{1}{2 ^{2}} - \frac{1}{3 ^{2}} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n ^{2}} - \frac{1}{( n + 1 ) ^{2}} \right)에서 가운데 항들이 소거되므로 g(n)=1−1(n+1)2\displaystyle g ( n ) = 1 - \frac{1}{( n + 1 ) ^{2}} f(4)=125\displaystyle f ( 4 ) = \frac{1}{25}, g(4)=1−125=2425\displaystyle g ( 4 ) = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25} 따라서 f(4)+g(4)=1f ( 4 ) + g ( 4 ) = 1

태그

#빈칸 추론#부분분수#소거되는 합

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