제곱의 나머지

$P \left( x \right) = x ^{2} + ax + b \left( a , b \right.$는 상수$\left. \right)$라 하자. $\left\{ P \left( x \right) \right\} ^{2} = \left( x + 1 \right) \left( x - 5 \right) Q \left( x \right) + 36$이므로 $P \left( - 1 \right) = \pm 6$ 또는 $P \left( 5 \right) = \pm 6$이다. $P \left( 0 \right) \neq P \left( 4 \right)$이므로 이차함수 $y = P \left( x \right)$의 그래프에서 꼭짓점의 $x$좌표가 $2$가 될 수 없다. 그러므로 $P \left( - 1 \right) \neq P \left( 5 \right)$이다. (ⅰ) $P \left( - 1 \right) = 6$, $P \left( 5 \right) = - 6$인 경우 $P \left( - 1 \right) = 1 - a + b = 6$, $a - b = - 5$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $P \left( 5 \right) = 25 + 5 a + b = - 6$, $5 a + b = - 31$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 $a = - 6$, $b = - 1$이므로 $P \left( x \right) = x ^{2} - 6 x - 1$ $\left( x ^{2} - 6 x - 1 \right) ^{2} - 6 ^{2}$$= \left( x ^{2} - 6 x + 5 \right) \left( x ^{2} - 6 x - 7 \right)$ $= \left( x - 5 \right) \left( x - 1 \right) \left( x - 7 \right) \left( x + 1 \right)$ $Q \left( x \right) = \left( x - 1 \right) \left( x - 7 \right) = x ^{2} - 8 x + 7$이다. 그러므로 $Q \left( - 1 \right) = 16$ (ⅱ) $P \left( - 1 \right) = - 6$, $P \left( 5 \right) = 6$인 경우 $P \left( - 1 \right) = 1 - a + b = - 6$, $a - b = 7$ $\cdots$$\cdots$ ㉢ $P \left( 5 \right) = 25 + 5 a + b = 6$, $5 a + b = - 19$ $\cdots$$\cdots$ ㉣ ㉢, ㉣에서 $a = - 2$, $b = - 9$이므로 $P \left( x \right) = x ^{2} - 2 x - 9$ $\left( x ^{2} - 2 x - 9 \right) ^{2} - 6 ^{2}$$= \left( x ^{2} - 2 x - 3 \right) \left( x ^{2} - 2 x - 15 \right)$ $= \left( x + 1 \right) \left( x - 3 \right) \left( x + 3 \right) \left( x - 5 \right)$ $Q \left( x \right) = \left( x - 3 \right) \left( x + 3 \right) = x ^{2} - 9$ 그러므로 $Q \left( - 1 \right) = - 8$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 $Q \left( - 1 \right)$의 값의 합은 $16 + \left( - 8 \right) = 8$