제곱이 실수인 복소수

[출제의도] 복소수의 성질을 이용하여 도형의 넓이를 구한다. $z ^{2}$이 실수이려면 $z$는 실수이거나 순허수이다. ∴ $x + y - 2 = 0$ 또는 $4 x + y - 8 = 0$

따라서 점 ${\mathrm{P}} ( x , y )$가 나타내는 도형은 그림과 같이 두 직선 $x + y - 2 = 0$, $4 x + y - 8 = 0$이고, 이 두 직선과 $y$축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 6 \times 2 = 6$ [참고] 복소수 $z = a + bi$($a$와 $b$는 실수)에 대하여 $z ^{2} = ( a + bi ) ^{2}$$= a ^{2} - b ^{2} + 2 abi$ 이므로 $z ^{2}$이 실수이기 위한 필요충분조건은 $2 ab = 0$, 즉 $a = 0$ 또는 $b = 0$ $a = 0$, $b \ne 0$이면 $z ^{2}$은 음수 $a \ne 0$, $b = 0$이면 $z ^{2}$은 양수 $a = 0$, $b = 0$이면 $z ^{2} = 0$