제곱이 주어진 무리수의 유리수 부분 구하기

$\displaystyle ( a + b \sqrt{2} ) ^{2} = a ^{2} + 2 b ^{2} + 2 ab \sqrt{2}$ $a$, $b$가 유리수이므로 $a ^{2} + 2 b ^{2} = 11$, $2 ab = - 6$ $ab = - 3$에서 $\displaystyle b = - \frac{3}{a}$를 첫째 식에 대입하면 $\displaystyle a ^{2} + \frac{18}{a ^{2}} = 11$, $a ^{4} - 11 a ^{2} + 18 = 0$ $( a ^{2} - 2 ) ( a ^{2} - 9 ) = 0$ $a$는 유리수이므로 $a ^{2} = 9$이고, $a > 0$이므로 $a = 3$, $b = - 1$ 따라서 $a - b = 3 - ( - 1 ) = 4$