제곱이 주어진 복소수

[출제의도] 곱셈 공식 이용하여 수학 내적문제 해결하기 $z = a + bi$($a , b$는 실수)라 하면 $z ^{2} = a ^{2} + 2 abi + b ^{2} i ^{2}$ $= \left( a ^{2} - b ^{2} \right) + 2 abi$$= 9 + 12 i$ 따라서 $a ^{2} - b ^{2} = 9$, $ab = 6$이다. $\displaystyle z \overline{z} = a ^{2} + b ^{2}$ 이므로 $\displaystyle \left( z \overline{z} \right) ^{2} = \left( a ^{2} + b ^{2} \right) ^{2}$$= \left( a ^{2} - b ^{2} \right) ^{2} + 4 \left( a ^{2} b ^{2} \right)$ $= 9 ^{2} + 4 \times 6 ^{2}$$= 225$ $\displaystyle \therefore z \overline{z} = 15 \left( \because z \overline{z} = a ^{2} + b ^{2} > 0 \right)$