제곱합이 0인 실근

[출제의도] 실수의 성질을 이용하여 미정계수를 정한다. ‘$p$, $q$가 실수일 때, $p ^{2} + q ^{2} = 0$이면 $p = q = 0$’ $\cdots$ ㉠ 주어진 방정식의 실근을 $x = \alpha$라고 하면 $\left( \alpha + 2 \right) ^{2} + \left( 2 \alpha + a \right) ^{2} = 0$이므로 ㉠에 의해 $\alpha + 2 = 0$$\cdots$ ㉡ $2 \alpha + a = 0$$\cdots$ ㉢ ㉡에서 $\alpha = - 2$ 이 값을 ㉢에 대입하면 $- 4 + a = 0$ 따라서 $a = 4$ [다른 풀이] $\left( x + 2 \right) ^{2} + \left( 2 x + a \right) ^{2} = 0$을 전개하면 $x ^{2} + 4 x + 4 + 4 x ^{2} + 4 ax + a ^{2} = 0$ $5 x ^{2} + 4 ( 1 + a ) x + 4 + a ^{2} = 0$ 이차방정식 $5 x ^{2} + 4 ( 1 + a ) x + 4 + a ^{2} = 0$이 실근을 가지므로 $\displaystyle \frac{D}{4} = \left\{ 2 ( 1 + a ) \right\} ^{2} - 5 ( 4 + a ^{2} ) \geq 0$ $4 + 8 a + 4 a ^{2} - 20 - 5 a ^{2} \geq 0$ $- a ^{2} + 8 a - 16 \geq 0$ 양변에 $- 1$을 곱하면 부등호의 방향이 바뀌므로 $a ^{2} - 8 a + 16 \leq 0$ $( a - 4 ) ^{2} \leq 0$ 그런데 실수의 제곱은 음수가 아니므로 $( a - 4 ) ^{2} \geq 0$ 두 식을 동시에 만족하려면 $( a - 4 ) ^{2} = 0$ 따라서 실수 $a$의 값은 $4$