제곱합 점화식과 로그 합

$a _{n + 1} ^{2} + 4 a _{n} ^{2} + \left( a _{1} - 2 \right) ^{2} = 4 a _{n + 1} a _{n}$ $\leftrightarrow \left( a _{n+1} - 2 a _{n} \right) ^{2} + ( a _{1} - 2 ) ^{2} = 0$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 각 항이 실수이므로 $a _{n+1} - 2 a _{n} = 0$이고 $a _{1} - 2 = 0$ 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$은 $a _{1} = 2 , a _{n+1} = 2 a _{n}$인 등비수열이므로 $a _{n} = 2 ^{n}$이므로 $\displaystyle b _{n} = \log _{\sqrt{2}} 2 ^{n} = 2 n$ 그러므로 $\displaystyle \sum\limits _{{k} = 1} ^{m} b _{k} = \sum\limits _{{k} = 1} ^{m} 2 k = m ( m + 1 ) = 72$에서 $\therefore m = 8$