공통수학2명제수능 기출기본 문제 (3점 중반)

제곱합 1111 명제

문제

다음은 명제 ｢x2+y2+z2=1111x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} = 1111을 만족하는 □(가)\square {\text{(가)}}｣에 대한 증명에서 중간 부분을 적은 것이다.

[ 증 명 ]
…(생략)… 정수 x,y,zx , y , z를 각각 88로 나누면 나머지가 각각 0,1,2,3,4,5,6,70 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7중 하나이다. 따라서 x2,y2,z2x ^{2} , y ^{2} , z ^{2}을 각각 88로 나누면 나머지가 0,1,40 , 1 , 4 중 하나이다. 그러므로 x2+y2+z2x ^{2} + y ^{2} + z ^{2}을 88로 나누었을 때 나머지는 각각 0,1,2,3,4,5,60 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 중 하나이다. 그런데, 11111111을 88로 나누면 나머지는 77이다. …(생략)…

다음 중 위의 □(가)\square {\text{(가)}}에 알맞은 것은? [2점] ①x,y,zx , y , z 중 적어도 하나는 정수이다.②x,y,zx , y , z 중 어느 것도 정수가 아니다.③x,y,zx , y , z가 모두 정수인 해가 적어도 하나 있다.④x,y,zx , y , z가 모두 정수인 해가 오직 하나 있다.⑤x,y,zx , y , z가 모두 정수인 해는 없다.

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⑤

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해설

x,y,zx , y , z가 정수일 때 x2+y2+z2=1111x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} = 1111에서 x2+y2+z2x ^{2} + y ^{2} + z ^{2}을 88로 나누었을 때의 나머지는 0,1,2,3,4,5,60 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6중 하나이고 11111111을 88로 나누면 나머지가 77이므로 주어진 명제의 등식이 성립하지 않는다. 따라서 주어진 x,y,zx , y , z가 모두 정수인 해는 없다.

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#나머지#증명

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