대수지수와 로그수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

제곱근과 로그 집합

문제

자연수 $k$ 에 대하여 두 집합 $\displaystyle A = \left\{ \sqrt{a} \left| a \right. \right.$ 는 자연수, $1 \leq a \leq k$ $\displaystyle \begin{matrix} {\}} \end{matrix}$ , $\displaystyle B = \left\{ \log _{\sqrt{3}} b \left| b \right. \right.$ 는 자연수, $1 \leq b \leq k$ $\displaystyle \begin{matrix} {\}} \end{matrix}$ 가 있다. 집합 $C$ 를 $C = \left\{ x \left| x \right. \right. \in A \cap B$ , $x$ 는 자연수 $\displaystyle \begin{matrix} {\}} \end{matrix}$ 라 할 때, $n \left( C \right) = 3$ 이 되도록 하는 모든 자연수 $k$ 의 개수를 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 지수와 로그 문제 해결하기 집합 $A$ 의 자연수인 원소는 다음과 같다.

$a$	$1$	$4$	$9$	$16$	$25$	$36$	$49$	$64$	$\cdots$
$\displaystyle \sqrt{a}$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$\cdots$

그리고 집합 $B$ 의 자연수인 원소는 다음과 같다.

$b$	$3$	$9$	$27$	$81$	$\cdots$
$\displaystyle \log _{\sqrt{3}} b$	$2$	$4$	$6$	$8$	$\cdots$

따라서 $n \left( C \right)$ $= 3$ 이므로 $C = \left\{ 2 , 4 , 6 \right\}$ 이다. $8 \notin C$ 이므로 자연수 $k$ 의 범위는 $36 \leq k < 81$ 이고 $k$ 의 개수는 $81 - 36 = 45$ 이다.

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