제곱근과 네제곱근

자연수 $m$의 양의 제곱근은 $\displaystyle m ^{\frac{1}{2}}$이고 자연수 $n$의 양의 네제곱근은 $\displaystyle n ^{\frac{1}{4}}$이다. 조건 (가)에서 $\displaystyle m ^{\frac{1}{2}} = 2 \times n ^{\frac{1}{4}}$ $\displaystyle m = 4 \sqrt{n}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ ㉠에 의하여 $\displaystyle \frac{3 m}{n} = \frac{12 \sqrt{n}}{n} = \frac{12}{\sqrt{n}}$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ 이고 조건 (나)에서 $\displaystyle \frac{3 m}{n}$은 자연수이므로 ㉡에 의하여 $\displaystyle \sqrt{n}$은 $12$의 약수이다. $\displaystyle \sqrt{n}$은 $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $12$이므로 $n$은 $1$, $4$, $9$, $16$, $36$, $144$이고 ㉠에서 $m$은 $4$, $8$, $12$, $16$, $24$, $48$이다. 따라서 조건을 만족시키는 모든 자연수 $m$의 값의 합은 $4 + 8 + 12 + 16 + 24 + 48 = 112$이다.