제곱 항등식 다항식

[출제의도] 이차방정식의 판별식을 활용하여 다항식 문제 해결하기 $\left\{ P \left( x \right) + 2 \right\} ^{2} = \left( x - a \right) \left( x - 2 a \right) + 4 = x ^{2} - 3 ax + 2 a ^{2} + 4$이다. $x$에 대한 이차방정식 $x ^{2} - 3 ax + 2 a ^{2} + 4 = 0$이 중근을 가지므로 판별식 $D = \left( 3 a \right) ^{2} - 4 \left( 2 a ^{2} + 4 \right) = 0$이다. $\left( 3 a \right) ^{2} - 4 \left( 2 a ^{2} + 4 \right) = 9 a ^{2} - 8 a ^{2} - 16 = a ^{2} - 16 = 0$ 이므로 $a = 4$ 또는 $a = \mathit{-} 4$이다. (ⅰ) $a = 4$인 경우 $\left\{ P \left( x \right) + 2 \right\} ^{2} = x ^{2} - 12 x + 36 = \left( x - 6 \right) ^{2}$ 이므로 $P \left( x \right) + 2 = x - 6$ 또는 $P \left( x \right) + 2 = \mathit{-} x + 6$ 에서 $P \left( x \right) = x - 8$ 또는 $P \left( x \right) = \mathit{-} x + 4$이다. (ⅱ) $a = \mathit{-} 4$인 경우 $\left\{ P \left( x \right) + 2 \right\} ^{2} = x ^{2} + 12 x + 36 = \left( x + 6 \right) ^{2}$ 이므로 $P \left( x \right) + 2 = x + 6$ 또는 $P \left( x \right) + 2 = \mathit{-} x - 6$ 에서 $P \left( x \right) = x + 4$ 또는 $P \left( x \right) = \mathit{-} x - 8$이다. (ⅰ)과 (ⅱ)에 의해 조건을 만족시키는 일차다항식 $P \left( x \right)$는 $x - 8$, $- x + 4$, $x + 4$, $- x - 8$이고 모든 $P \left( 1 \right)$의 값은 $- 7$, $3$, $5$, $- 9$이다. 따라서 모든 $P \left( 1 \right)$의 값의 합은 $\left( - 7 \right) + 3 + 5 + \left( - 9 \right) = \mathit{-} 8$이다. [다른 풀이] $\left\{ P \left( x \right) + 2 \right\} ^{2} = \left( x - a \right) \left( x - 2 a \right) + 4$에서 다항식 $P \left( x \right)$는 일차식이다. $P \left( x \right) = px + q$ ($p \ne 0$)라 하자. $\left. \left( px + q + 2 \right) ^{2} = \left( x - a \right) \left( x - 2 a \right) + 4 \right.$에서 $p ^{2} x ^{2} + \left( 2 pq + 4 p \right) x + q ^{2} + 4 q + 4 = x ^{2} - 3 ax + 2 a ^{2} + 4$이므로 $p ^{2} = 1$, $2 pq + 4 p = \mathit{-} 3 a$, $q ^{2} + 4 q + 4 = 2 a ^{2} + 4$이다. (ⅰ) $p = 1$인 경우 $2 q + 4 = \mathit{-} 3 a$, $q ^{2} + 4 q = 2 a ^{2}$에서 $\left( q - 4 \right) \left( q + 8 \right) = 0$이므로 $q = 4$ 또는 $q = \mathit{-} 8$이다. 따라서 $P \left( x \right) = x + 4$ 또는 $P \left( x \right) = x - 8$이다. (ⅱ) $p = \mathit{-} 1$인 경우 $- 2 q - 4 = \mathit{-} 3 a$, $q ^{2} + 4 q = 2 a ^{2}$에서 $\left( q - 4 \right) \left( q + 8 \right) = 0$이므로 $q = 4$ 또는 $q = \mathit{-} 8$이다. 따라서 $P \left( x \right) = \mathit{-} x + 4$ 또는 $P \left( x \right) = \mathit{-} x - 8$이다. 그러므로 $P \left( x \right)$는 $x + 4$, $x - 8$, $- x + 4$, $- x - 8$이고 모든 $P \left( 1 \right)$의 값은 $5$, $- 7$, $3$, $- 9$이다. 따라서 모든 $P \left( 1 \right)$의 값의 합은 $5 + \left( - 7 \right) + 3 + \left( - 9 \right) = \mathit{-} 8$이다.