제1사분면을 지나지 않는 사인곡선

[출제의도] 삼각함수의 그래프 문제 해결하기 함수 $\displaystyle y = k \sin \left( 2 x + \frac{\pi}{3} \right) + k ^{2} - 6$의 그래프에서 (ⅰ) $k = 0$일 때 $y = \mathit{-} 6$이므로 함수의 그래프는 제$1$사분면을 지나지 않는다. (ⅱ) $k > 0$일 때 $\displaystyle y = k \sin \left( 2 x + \frac{\pi}{3} \right) + k ^{2} - 6$의 최댓값은 $k + \left( k ^{2} - 6 \right)$ 이고, 함수의 그래프가 제$1$사분면을 지나지 않으려면 최댓값이 $0$보다 작거나 같아야 한다. $k + \left( k ^{2} - 6 \right) \leq 0$ $k ^{2} + k - 6 \leq 0$ $\left( k - 2 \right) \left( k + 3 \right) \leq 0$ $- 3 \leq k \leq 2$ 따라서 $0 < k \leq 2$이다. (ⅲ) $k < 0$일 때 $\displaystyle y = k \sin \left( 2 x + \frac{\pi}{3} \right) + k ^{2} - 6$의 최댓값은 $- k + \left( k ^{2} - 6 \right)$이고, 함수의 그래프가 제$1$사분면을 지나지 않으려면 최댓값이 $0$보다 작거나 같아야 한다. $- k + \left( k ^{2} - 6 \right) \leq 0$ $k ^{2} - k - 6 \leq 0$ $\left( k + 2 \right) \left( k - 3 \right) \leq 0$ $- 2 \leq k \leq 3$ 따라서 $- 2 \leq k < 0$이다. 그러므로 $- 2 \leq k \leq 2$이고 모든 정수 $k$의 개수는 $5$이다.