자연수임을 귀납법 증명

[출제의도] 수학적 귀납법을 이용하여 주어진 식이 자연수임을 증명할 수 있는가를 묻는 문제이다. (ⅰ) $n = 1$일 때 $\displaystyle \frac{1 ^{3}}{6} + \frac{1 ^{2}}{2} + \frac{1}{3} = 1$ (ⅱ) $n = k ( k \geq 1 )$일 때 $\displaystyle \frac{k ^{3}}{6} + \frac{k ^{2}}{2} + \frac{k}{3}$가 자연수라고 가정하자. $\displaystyle \frac{( k + 1 ) ^{3}}{6} + \frac{( k + 1 ) ^{2}}{2} + \frac{k + 1}{3}$ $\displaystyle = \left( \frac{k ^{3}}{6} + \frac{k ^{2}}{2} + \frac{k}{3} \right) +$$\displaystyle \left( \frac{3 k ^{2} + 3 k + 1}{6} + \frac{2 k + 1}{2} + \frac{1}{3} \right)$에서 $\displaystyle \frac{3 k ^{2} + 3 k + 1}{6} + \frac{2 k + 1}{2} + \frac{1}{3} =$$\displaystyle \frac{k ^{2} + 3 k + 2}{2} = \frac{( k + 1 ) ( k + 2 )}{2}$ 이때 $\displaystyle \frac{k ^{3}}{6} + \frac{k ^{2}}{2} + \frac{k}{3}$는 자연수이고 $( k + 1 ) ( k + 2 )$는 연속된 자연수의 곱이므로 의 배수이다. 그러므로 $\displaystyle \frac{( k + 1 ) ^{3}}{6} + \frac{( k + 1 ) ^{2}}{2} + \frac{k + 1}{3}$은 자연수이다. 따라서 $n = k + 1$일 때에도 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에 의해 모든 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle \frac{n ^{3}}{6} + \frac{n ^{2}}{2} + \frac{n}{3}$은 자연수이다.