자명하지 않은 해와 기울기

[출제의도] 해가 무수히 많을 조건을 이용하여 직선의 기울기의 최댓값을 구한다. $\displaystyle {\begin{pmatrix} a & - 1 \\ b & a - 2 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}}$에서 $\displaystyle {\begin{pmatrix} a & - 1 \\ b & a - 2 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}}$ $\displaystyle {\begin{pmatrix} a - 1 & - 1 \\ b & a - 3 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}}$ 연립방정식이 $x = 0$, $y = 0$ 이외의 해를 가지므로 행렬 $\displaystyle {\begin{pmatrix} a - 1 & - 1 \\ b & a - 3 \end{pmatrix}}$의 역행렬이 존재하지 않는다. $( a - 1 ) ( a - 3 ) + b = 0$ $b = - a ^{2} + 4 a - 3$ ($a > 0$, $b > 0$) 즉, 점 ${\mathrm{P}} ( a , b )$는 곡선 $y = - x ^{2} + 4 x - 3$의 제$1$사분면에 있는 부분 위의 점이다. 직선 $\mathrm{OP}$의 기울기를 $m$이라 하면 직선 $\mathrm{OP}$의 방정식은 $y = mx$이다. 직선 $\mathrm{OP}$가 곡선 $y = - x ^{2} + 4 x - 3$과 제$1$사분면에서 서로 접할 때 직선 $\mathrm{OP}$의 기울기 $m$은 최댓값을 갖는다.

두 식 $y = mx$, $y = - x ^{2} + 4 x - 3$을 연립하면 $mx = - x ^{2} + 4 x - 3$ $x ^{2} + ( m - 4 ) x + 3 = 0$ … ㉠ ㉠의 판별식을 $D$라 하면 $D = ( m - 4 ) ^{2} - 12 = 0$ ∴ $\displaystyle m = 4 - 2 \sqrt{3}$ 또는 $\displaystyle m = 4 + 2 \sqrt{3}$ $0 < m < 1$이므로 $\displaystyle m = 4 - 2 \sqrt{3}$ [다른 풀이] 원점 $\mathrm{O}$와 곡선 위의 점 $\mathrm{P} ( \mathit{a} , b )$ ($1 < a < 3$)을 지나는 직선의 기울기는 $\displaystyle \frac{b - 0}{a - 0} = \frac{b}{a}$$\displaystyle = \frac{- a ^{2} + 4 a - 3}{a}$$\displaystyle = - a + 4 - \frac{3}{a}$$\displaystyle = 4 - \left( a + \frac{3}{a} \right)$ $a$는 양수이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의해 $\displaystyle a + \frac{3}{a} \geq 2 \sqrt{a \cdot \frac{3}{a}} = 2 \sqrt{3}$ (단, 등호는 $\displaystyle a = \frac{3}{a}$, 즉 $\displaystyle a = \sqrt{3}$일 때 성립) $\displaystyle \sqrt{3}$은 $a$의 범위에 포함되므로 (직선 $\mathrm{OP}$의 기울기)=$\displaystyle 4 - \left( a + \frac{3}{a} \right)$$\displaystyle \leq 4 - 2 \sqrt{3}$