공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

자명하지 않은 해와 최소값

문제

두 양수 a,ba , b에 대하여 x,yx , y에 대한 연립방정식 (a+182b+1)(xy)=(xy)\displaystyle \begin{pmatrix} a + 1 & 8 \\ 2 & b + 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}가 x=y=0x = y = 0이외의 해를 갖는다고 할 때, a+ba + b의 최소값을 구하시오. [4점]

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88

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해설

(a82b)(xy)=(00)\displaystyle \begin{pmatrix} a & 8 \\ 2 & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}에서 (a82b)\displaystyle \begin{pmatrix} a & 8 \\ 2 & b \end{pmatrix}의 역행렬이 존재하지 않아야 되므로 ab−16=0ab - 16 = 0 ∴ab=16\therefore ab = 16 한편,a>0,b>0a > 0 , b > 0이므로 산술․기하평균을 이용하면 a+b≥2ab=8\displaystyle a + b \geq 2 \sqrt{ab} = 8(a=b=4a = b = 4일 때 등호성립)이므로 최소값은 88이다.

태그

#행렬#역행렬#산술기하평균

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