대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

자기장 세기 공식

문제

반지름의 길이가 $r$ 인 원형 도선에 세기가 $I$ 인 전류가 흐를 때, 원형 도선의 중심에서 수직 거리 $x$ 만큼 떨어진 지점에서의 자기장의 세기를 $B$ 라 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다. $\displaystyle B = \frac{k I r ^{2}}{2 ( x ^{2} + r ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}$ (단, $k$ 는 상수이다.) 전류의 세기가 $I _{0} \left( I _{0} > 0 \right)$ 으로 일정할 때, 반지름의 길이가 $r _{1}$ 인 원형 도선의 중심에서 수직 거리 $x _{1}$ 만큼 떨어진 지점에서의 자기장의 세기를 $B _{1}$ , 반지름의 길이가 $3 r _{1}$ 인 원형 도선의 중심에서 수직 거리 $3 x _{1}$ 만큼 떨어진 지점에서의 자기장의 세기를 $B _{2}$ 라 하자. $\displaystyle \frac{B _{2}}{B _{1}}$ 의 값은? (단, 전류의 세기의 단위는 $\mathrm{A}$ , 자기장의 세기의 단위는 $\mathrm{T}$ , 길이와 거리의 단위는 $\mathrm{m}$ 이다.) [4점] ① $\displaystyle \frac{1}{6}$ ② $\displaystyle \frac{1}{4}$ ③ $\displaystyle \frac{1}{3}$ ④ $\displaystyle \frac{5}{12}$ ⑤ $\displaystyle \frac{1}{2}$

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③

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[출제의도] 지수법칙을 이용하여 실생활 문제 해결하기 $\displaystyle B _{1} = \frac{k I _{0} r _{1} ^{2}}{2 \left( x _{1} ^{2} + r _{1} ^{2} \right) ^{\frac{3}{2}}}$ , $\displaystyle B _{2} = \frac{k I _{0} \left( 3 r _{1} \right) ^{2}}{2 \left\{ \left( 3 x _{1} \right) ^{2} + \left( 3 r _{1} \right) ^{2} \right\} ^{\frac{3}{2}}}$ $\displaystyle = \frac{k I _{0} \times 9 r _{1} ^{2}}{2 \left( 9 x _{1} ^{2} + 9 r _{1} ^{2} \right) ^{\frac{3}{2}}}$ $\displaystyle = \frac{9 k I _{0} r _{1} ^{2}}{2 \times 9 ^{\frac{3}{2}} \left( x _{1} ^{2} + r _{1} ^{2} \right) ^{\frac{3}{2}}}$ $\displaystyle = \frac{k I _{0} r _{1} ^{2}}{6 \left( x _{1} ^{2} + r _{1} ^{2} \right) ^{\frac{3}{2}}}$ $\displaystyle = \frac{1}{3} B _{1}$ 이므로 $\displaystyle \frac{B _{2}}{B _{1}} = \frac{1}{3}$ 이다.

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