공통수학1이차방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

자동차 정지거리

문제

운전자가 장애물을 발견하고 브레이크를 밟기까지 자동차가 달린 거리를 공주거리, 브레이크를 밟을 때부터 자동차가 완전히 정지할 때까지 달린 거리를 제동거리라 하고, 공주거리와 제동거리를 합한 거리를 정지거리라 한다. 어느 자동차 실험에서 시속 $x$ $\mathrm{km}$ 로 달리던 자동차의 공주거리는 $\displaystyle \frac{3}{10} x$ $\mathrm{m}$ 이고 제동거리는 $\displaystyle \frac{1}{100} x ^{2} - \frac{1}{5} x + 3$ $\mathrm{m}$ 의 결과가 나왔다고 한다. 이 실험에서 시속 $a$ $\mathrm{km}$ 로 달리는 자동차의 정지거리가 $40$ $\mathrm{m}$ 이었을 때, 상수 $a$ 에 가장 가까운 정수를 다음 제곱표를 이용하여 구하시오. (단, $x > 0$ 이다.) [4점]

$n$	$55$	$56$	$57$	$58$	$59$	$60$	$61$	$62$
$n ^{2}$	$3025$	$3136$	$3249$	$3364$	$3481$	$3600$	$3721$	$3844$

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해설

[출제의도] 주어진 외적 관련 조건을 만족시키는 이차방정식을 구하여 그 해를 구하는 문제해결력을 묻는 문제이다. 시속 $x$ $\mathrm{km}$ 로 달리는 자동차의 정지거리는 $\displaystyle \frac{3}{10} x + \left( \frac{1}{100} x ^{2} - \frac{1}{5} x + 3 \right) =$ $\displaystyle \frac{1}{100} x ^{2} + \frac{1}{10} x + 3$ ( $\mathrm{m}$ )이다. 주어진 조건에서 $\displaystyle \frac{1}{100} a ^{2} + \frac{1}{10} a + 3 = 40$ , $a ^{2} + 10 a - 3700 = 0$ ∴ $\displaystyle a = - 5 \pm \sqrt{25 + 3700} = - 5 \pm \sqrt{3725}$ 그런데 $a > 0$ 이므로 $\displaystyle a = - 5 + \sqrt{3725}$ 주어진 제곱표에서 $61 ^{2} = 3721$ , $62 ^{2} = 3844$ 이므로 $\displaystyle \sqrt{3725}$ 에 가까운 정수는 $61$ 이다. 따라서 $a$ 에 가장 가까운 정수는 $- 5 + 61 = 56$ 이다. [별해] $a ^{2} + 10 a - 3700 = 0$ 에서 $( a + 5 ) ^{2} = 3725$ , $a > 0$ 이고 $\displaystyle a + 5 = \sqrt{3725}$ 이므로 $a + 5$ 에 가까운 정수는 $61$ 이다. 따라서 $a$ 에 가장 가까운 정수는 $- 5 + 61 = 56$ 이다.

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