자취인 원과 직선이 만날 조건

점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $( x , y )$라 하면 $\displaystyle 2 \overline{\mathrm{PA}} = \overline{\mathrm{PB}}$이므로 $\displaystyle 4 \overline{\mathrm{PA}} ^{2} = \overline{\mathrm{PB}} ^{2}$ $4 \left\{ ( x - 1 ) ^{2} + y ^{2} \right\} = ( x - 4 ) ^{2} + y ^{2}$ $4 x ^{2} - 8 x + 4 + 4 y ^{2} = x ^{2} - 8 x + 16 + y ^{2}$ $3 x ^{2} + 3 y ^{2} = 12$ $x ^{2} + y ^{2} = 4$ 즉, 점 $\mathrm{P}$가 그리는 도형은 중심이 원점이고 반지름의 길이가 $2$인 원이다. 직선 $2 x - y + k = 0$과 원의 중심 사이의 거리가 반지름의 길이보다 작거나 같아야 하므로 $\displaystyle \frac{\left| k \right|}{\sqrt{2 ^{2} + ( - 1 ) ^{2}}} \leq 2$ $\displaystyle \left| k \right| \leq 2 \sqrt{5}$ $\displaystyle 2 \sqrt{5} = \sqrt{20}$이고 $\displaystyle 4 < \sqrt{20} < 5$이므로 정수 $k$는 $- 4 , - 3 , \cdots , 4$ 따라서 정수 $k$의 개수는 $9$이므로 답은 ④이다.