이웃항 합 점화식

[출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이용하여 수열의 합을 구한다. 자연수 $k$ 에 대하여 (ⅰ) $n = 2 k - 1$ 일 때, $a _{2 k - 1} + a _{2 k}$$= 2 ( 2 k - 1 )$$= 4 k - 2$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{22} {} a _{n}$$\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{11} {} ( a _{2 k - 1} + a _{2 k} )$$\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{11} {} ( 4 k - 2 )$ $\displaystyle = 4 \times \frac{11 \times 12}{2} - 2 \times 11$$= 242$ (ⅱ) $n = 2 k$ 일 때, $a _{2 k} + a _{2 k + 1}$$= 2 \times 2 k$$= 4 k$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{n = 2} ^{21} {} a _{n}$$\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{10} {} ( a _{2 k} + a _{2 k + 1} )$$\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{10} {} 4 k$ $\displaystyle = 4 \times \frac{10 \times 11}{2}$$= 220$ 따라서 $a _{1} + a _{22}$$\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{22} {} a _{n} - \sum\limits _{n = 2} ^{21} {} a _{n}$$= 242 - 220$$= 22$ [다른 풀이] 자연수 $k$ 에 대하여 $a _{2 k} + a _{2 k + 1} = 4 k$, $a _{2 k - 1} + a _{2 k} = 4 k - 2$이므로 $a _{2 k + 1} - a _{2 k - 1} = 2$ 즉, 수열 $\left\{ a _{2 k - 1} \right\}$은 공차가 $2$ 인 등차수열이다. 그러므로 $a _{2 k - 1} = a _{1} + ( k - 1 ) \times 2$ $\cdots \cdots$ ㉠ ㉠에 $k = 11$ 을 대입하면 $a _{21} = a _{1} + 20$ $\cdots \cdots$ ㉡ 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $a _{n} + a _{n + 1} = 2 n$ 이므로 $n = 21$ 을 대입하면 $a _{21} + a _{22} = 42$ $\cdots \cdots$ ㉢ ㉡을 ㉢에 대입하면 $( a _{1} + 20 ) + a _{22} = 42$ 따라서 $a _{1} + a _{22} = 22$