이웃항 곱 조건 급수

$\displaystyle a _{n} \cdot a _{n+1} = \left( \frac{1}{5} \right) ^{n} \cdots \text{①}$ $a _{n+1} \cdot a _{n+2} = \left( \frac{1}{5} \right) ^{n+1} \cdots \text{ ②}$ $\text{ ②} \div \text{ ①}$:$\frac{a _{n}}{a _{n+2}} = \frac{1}{5}$은 짝수 번째 항의 공비를 의미한다. ①에 $n = 1$을 대입하면 $\displaystyle a _{1} \cdot a _{2} = \frac{1}{5}$이므로 $\displaystyle a _{2} = \frac{1}{5}$이다.$( \because a _{1} = 1 )$ $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{2 n} = a _{2} + a _{4} + a _{6} + \cdots \cdots$ $\displaystyle = \frac{1}{5} + \left( \frac{1}{5} \right) ^{2} + \left( \frac{1}{5} \right) ^{3} + \cdots$$\displaystyle = \frac{\frac{1}{5}}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{1}{4}$ (다른 풀이) 축차대입법에 의하여 $n = 1 , 2 , 3 , \cdots$ 대입하여 나열하면 $\displaystyle 1 , \frac{1}{5} , \frac{1}{5} , \left( \frac{1}{5} \right) ^{2} , \left( \frac{1}{5} \right) ^{2} , \left( \frac{1}{5} \right) ^{3} , \left( \frac{1}{5} \right) ^{3} , \cdots$ $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{2 n} = a _{2} + a _{4} + a _{6} + \cdots \cdots$은 공비가 $\displaystyle \frac{1}{5}$인 무한등비급수이므로 $\displaystyle = \frac{\frac{1}{5}}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{1}{4}$