공통수학1복소수AI발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

i의 거듭제곱의 합 구하기

문제

i+i2+i3+⋯+i50i + i ^{2} + i ^{3} + \cdots + i ^{50}의 실수부분을 aa, 허수부분을 bb라 할 때, a−ba - b의 값은? (단, i=−1\displaystyle i = \sqrt{- 1}) [3점] ①−2- 2②−1- 1③00④11⑤22

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①

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해설

i2=−1i ^{2} = - 1, i3=−ii ^{3} = - i, i4=1i ^{4} = 1이므로 i+i2+i3+i4=i−1−i+1=0i + i ^{2} + i ^{3} + i ^{4} = i - 1 - i + 1 = 0 즉 ini ^{n}의 값은 ii, −1- 1, −i- i, 11이 차례로 반복되고 연속한 네 항의 합은 00이다. 48=4×1248 = 4 \times 12이므로 i+i2+⋯+i48=0i + i ^{2} + \cdots + i ^{48} = 0 i+i2+⋯+i50=i49+i50=i+i2=−1+ii + i ^{2} + \cdots + i ^{50} = i ^{49} + i ^{50} = i + i ^{2} = - 1 + i 따라서 a=−1a = - 1, b=1b = 1이므로 a−b=−2a - b = - 2, 답은 ①이다.

태그

#허수단위#i의 거듭제곱#실수부분#허수부분

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