입체도형의 부피

[출제의도] 이해능력-적분법 $x$좌표가 $x ( 0 \leq x \leq \ln 2 )$인 점을 지나고 $x$축에 수직인 평면으로 입체도형을 자를 때, 그 단면은 지름의 길이가 $e ^{2} - e ^{x} ( 0 \leq x \leq \ln 2 )$인 반원이다. 따라서 단면의 넓이를 $S ( x )$라 하면 $\displaystyle S ( x ) = \frac{1}{2} \times \left( \frac{e ^{2} - e ^{x}}{2} \right) ^{2} \pi = \frac{1}{8} ( e ^{2 x} - 2 e ^{x + 2} + e ^{4} ) \pi$ 따라서 구하는 입체도형의 부피를 $V$라 하면 $\displaystyle V = \int _{0} ^{\ln 2} {} S ( x ) dx = \frac{\pi}{8} \int _{0} ^{\ln 2} {} ( e ^{2 x} - 2 e ^{x + 2} + e ^{4} ) dx$ $\displaystyle = \frac{\pi}{8} \left[ \frac{1}{2} e ^{2 x} - 2 e ^{x + 2} + e ^{4} x \right] _{0} ^{\ln 2}$ $\displaystyle = \frac{\pi}{8} \left( e ^{4} \ln 2 - 2 e ^{2} + \frac{3}{2} \right)$