미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

입체도형의 부피

문제

그림과 같이 함수 f(x)=xsin⁡x2\displaystyle f ( x ) = \sqrt{x \sin x ^{2}}(π2≤x≤3π2)\displaystyle \left( \frac{\sqrt{\pi}}{2} \leq x \leq \frac{\sqrt{3 \pi}}{2} \right)에 대하여 곡선 y=f(x)y = f ( x )와 곡선 y=−f(x)y = \mathit{-} f ( x ) 및 두 직선 x=π2\displaystyle x = \frac{\sqrt{\pi}}{2}, x=3π2\displaystyle x = \frac{\sqrt{3 \pi}}{2}로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 xx축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피는? [4점]

①22\displaystyle 2 \sqrt{2}②23\displaystyle 2 \sqrt{3}③44④42\displaystyle 4 \sqrt{2}⑤43\displaystyle 4 \sqrt{3}

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①

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해설

[출제의도] 정적분을 이용하여 입체도형의 부피 문제를 해결한다. 점 (t,0)\left( t , 0 \right)(π2≤t≤3π2)\displaystyle \left( \frac{\sqrt{\pi}}{2} \leq t \leq \frac{\sqrt{3 \pi}}{2} \right)를 지나고 xx축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이는 2f(t)×2f(t)=4tsin⁡t22 f ( t ) \times 2 f ( t ) = 4 t \sin t ^{2}이다. 따라서 구하는 입체도형의 부피는 ∫π23π24tsin⁡t2dt\displaystyle \int _{\frac{\sqrt{\pi}}{2}} ^{\frac{\sqrt{3 \pi}}{2}} {} 4 t \sin t ^{2} dt t2=ut ^{2} = u로 놓으면 dudt=2t\displaystyle \frac{du}{dt} = 2 t이므로 ∫π23π24tsin⁡t2dt\displaystyle \int _{\frac{\sqrt{\pi}}{2}} ^{\frac{\sqrt{3 \pi}}{2}} {} 4 t \sin t ^{2} dt=2∫π43π4sin⁡udu\displaystyle = 2 \int _{\frac{\pi}{4}} ^{\frac{3 \pi}{4}} {} \sin u du =2×[−cos⁡u]π43π4\displaystyle = 2 \times \left[ \begin{array}{l} - \cos u \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right] _{\frac{\pi}{4}} ^{\frac{3 \pi}{4}}=22\displaystyle = 2 \sqrt{2}

태그

#부피#치환적분

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