입체도형의 부피

[출제의도] 정적분을 이용하여 입체도형의 부피를 구할 수 있는가? 주어진 입체도형의 부피는 $\displaystyle \int _{0} ^{k} {} \left( \sqrt{\frac{e ^{x}}{e ^{x} + 1}} \right) ^{2} dx = \int _{0} ^{k} {} \frac{e ^{x}}{e ^{x} + 1} dx$ $e ^{x} + 1 = t$로 놓으면 $\displaystyle \frac{dt}{dx} = e ^{x}$ 이때 $x = 0$일 때, $t = 2$이고 $x = k$일 때, $t = e ^{k} + 1$이므로 $\displaystyle \int _{0} ^{k} {} \frac{e ^{x}}{e ^{x} + 1} dx$$\displaystyle = \int _{2} ^{e ^{k} + 1} \frac{1}{t} dt$$\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \ln t \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right] _{2} ^{e ^{k} + 1}$ $= \ln \left( e ^{k} + 1 \right) - \ln 2$ $\displaystyle = \ln \frac{e ^{k} + 1}{2}$ 주어진 입체도형의 부피가 $\ln 7$이므로 $\displaystyle \ln \frac{e ^{k} + 1}{2} = \ln 7$ $\displaystyle \frac{e ^{k} + 1}{2} = 7 , e ^{k} = 13$ 따라서 $k = \ln 13$