입체도형의 부피

[출제의도] 입체도형의 부피를 구할 수 있는가? $\displaystyle 0 \leq t \leq \frac{\pi}{3}$인 실수 $t$에 대하여 직선 $x = t$를 포함하고 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이를 $S \left( t \right)$라 하면 $\displaystyle S \left( t \right) = \left( \sqrt{\sec ^{2} t + \tan t} \right) ^{2} = \sec ^{2} t + \tan t$ 이므로 구하는 입체도형의 부피는 $\displaystyle \int _{0} ^{\frac{\pi}{3}} {\left( \sec ^{2} t + \tan t \right)} dt$ $\displaystyle = \int _{0} ^{\frac{\pi}{3}} {\left( \sec ^{2} x + \frac{\sin x}{\cos x} \right)} dx$$\displaystyle = \int _{0} ^{\frac{\pi}{3}} {\left\{ \sec ^{2} x - \frac{\left( \cos x \right)'}{\cos x} \right\}} dx$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \tan x - \ln \left| \cos x \right| \end{array} \right] _{0} ^{\frac{\pi}{3}}$$\displaystyle = \tan \frac{\pi}{3} - \ln \cos \frac{\pi}{3}$ $\displaystyle = \sqrt{3} - \ln \frac{1}{2} = \sqrt{3} + \ln 2$