입체 부피 극한

그림은 단계별로 만들어지는 어떤 입체를 위에서 본 모양과 앞에서 본 모양을 나타낸 것이다. [$1$단계] 한 모서리의 길이가 $1$인 정육면체를 평면 위에 놓는다. [$2$단계] [$1$단계] 입체에 한 모서리의 길이가 $\displaystyle \frac{1}{2}$인 정육면체를 위, 왼쪽, 오른쪽, 앞, 뒤에 각각 $1$개씩 붙인다. [$3$단계] [$2$단계] 입체에 한 모서리의 길이가 $\displaystyle \frac{1}{2 ^{2}}$인 정육면체를 위, 왼쪽, 오른쪽, 앞, 뒤에 각각 $1$개씩 붙인다. $\vdots$ 이와 같은 과정을 계속하여 [$n$단계]에서 얻어진 입체의 부피를 $V _{n}$이라 할 때, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {V _{n}}$의 값은? [4점]

<위에서 본 모양> <앞에서 본 모양> [$3$단계] [$2$단계] [$1$단계] $\cdots$ $\cdots$

①$\displaystyle \frac{8}{7}$②$\displaystyle \frac{9}{7}$③$\displaystyle \frac{10}{7}$④$\displaystyle \frac{11}{7}$⑤$\displaystyle \frac{12}{7}$