공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출기본 문제 (3점 중반)

인수정리 나누어떨어짐 보기

문제

두 다항식 $f ( x ) , g ( x )$ 에 대하여 $2 f ( x ) + g ( x )$ 와 $f ( x ) + 2 g ( x )$ 가 모두 $x - 7$ 로 나누어 떨어진다. ㄱ. $f ( x )$ 와 $g ( x )$ 중 하나는 $x - 7$ 로 나누어 떨어지고, 다른 하나는 $x - 7$ 로 나누어 떨어지지 않는다. ㄴ. $f ( x ) g ( x )$ 는 $( x - 7 ) ^{2}$ 으로 나누어 떨어진다. ㄷ. $g \left( f ( x ) \right)$ 는 $x - 7$ 로 나누어 떨어진다.

위의 <보기>의 설명 중 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점] ①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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②

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해설

$2 f ( x ) + g ( x )$ 와 $f ( x ) + 2 g ( x )$ 가 모두 $x - 7$ 로 나누어 떨어지므로 인수정리에 의해서 $2 f ( 7 ) + g ( 7 ) = 0$ 이고 $f ( 7 ) + 2 g ( 7 ) = 0$ 이므로 $f ( 7 ) = 0$ 이고 $g ( 7 ) = 0$ 이다. 그러므로 $f ( x )$ 와 $g ( x )$ 는 모두 $x - 7$ 로 나누어 떨어진다. 즉, $f ( x ) = ( x - 7 ) p ( x ) , g ( x ) = ( x - 7 ) q ( x )$ 라 두면 보기 중 맞는 것은 ㄴ 밖에 없다.

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