인수정리 보기

[출제의도] 다항식의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다. 다항식 $f ( x ) = x ^{2} + ax + b$가 $x - m$과 $x - n$으로 나누어 떨어지므로 $f ( x )$는 다음과 같다. $f ( x ) = ( x - m ) ( x - n )$ 이 식을 전개하면 $f ( x ) = x ^{2} - ( m + n ) x + mn$ $f ( x ) = x ^{2} + ax + b$에서 계수를 비교하면 $a = - ( m + n )$, $b = mn$ 한편, $g ( x ) = x ^{2} + ( m + n - mn ) x - m ^{2} n - mn ^{2}$$= x ^{2} + ( m + n - mn ) x - mn ( m + n )$ $= x ^{2} + ( - a - b ) x + ab$$= ( x - a ) ( x - b )$ ㄱ. (참) $f ( x ) = ( x - m ) ( x - n )$이므로 $f ( x )$를 일차식 $x - m$으로 나눈 나머지는 나머지 정리에 의해서 $f ( m ) = 0$이다. 같은 방법으로 $f ( x )$를 일차식 $x - n$으로 나눈 나머지는 $f ( n ) = 0$이다. ∴ $f ( m ) = f ( n ) = 0$ ㄴ. (참) $g ( x ) = ( x - a ) ( x - b )$이므로 $g ( x )$를 $x - a$로 나눈 몫은 $x - b$이고 나머지는 $0$이다. ㄷ. (참) $2 m + n = 0$에서 $n = - 2 m$이므로 $f ( x ) = ( x - m ) ( x - n )$에 대입하면 $f ( x ) = ( x - m ) ( x - 2 m )$ $g ( x ) = x ^{2} + ( m + n - mn ) x - mn ( m + n )$을 정리하면 $g ( x ) = ( x + m + n ) ( x - mn )$이다. $n = - 2 m$을 이 식에 대입하면 $g ( x ) = ( x + m - 2 m ) \left\{ x - m ( - 2 m ) \right\}$$= ( x - m ) ( x + 2 m ^{2} )$ 그러므로 $( x - m )$은 $f ( x )$와 $g ( x )$의 공약수이다. 따라서 $2 m + n = 0$이면 $f ( x )$와 $g ( x )$에 일차식 이상의 공약수가 존재한다. 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.