미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

일의 자리로 만든 무한급수

문제

자연수 nn에 대하여 4n4 ^{n}을 1010으로 나눈 나머지를 ana _{n}이라 하자. 이 때, 무한급수 ∑n=1∞an10n\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{a _{n}}{10 ^{n}}의 합은? [4점] ①2390\displaystyle \frac{23}{90}②4790\displaystyle \frac{47}{90}③2399\displaystyle \frac{23}{99}④4699\displaystyle \frac{46}{99}⑤9199\displaystyle \frac{91}{99}

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④

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해설

[출제의도] 수열의 표현 및 무한급수에 관한 이해력을 측정한다. 4n4 ^{n}을 1010으로 나눈 나머지는 4n4 ^{n}의 일의 자리수이므로 a1=4a _{1} = 4, a2=6a _{2} = 6, a3=4a _{3} = 4, a4=6a _{4} = 6, … ∑n=1∞an10n\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{a _{n}}{10 ^{n}}=0.464646⋯= 0.464646 \cdots=0.461−0.01\displaystyle = \frac{0.46}{1 - 0.01}=4699\displaystyle = \frac{46}{99}

태그

#무한급수#순환소수

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