대수등차수열과 등비수열AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

일의 자리 수로 정의한 수열의 합

문제

자연수 $n$ 에 대하여 $3 ^{n}$ 의 일의 자리 숫자를 $a _{n}$ 이라 하고, $\displaystyle S _{n} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k}$ 라 하자. $S _{m} = 2032$ 를 만족시키는 자연수 $m$ 의 값을 구하시오. [4점]

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406

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해설

$3 ^{1} = 3$ , $3 ^{2} = 9$ , $3 ^{3} = 27$ , $3 ^{4} = 81$ , $3 ^{5} = 243$ , $\cdots$ 이므로 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 은 $3 , 9 , 7 , 1$ 이 되풀이되는 수열이고 $a _{n + 4} = a _{n}$ 한 주기의 합은 $3 + 9 + 7 + 1 = 20$ 이므로 자연수 $q$ 에 대하여 $S _{4 q} = 20 q$ $2032 = 20 \times 101 + 12$ 이고, 한 주기 안의 부분합은 차례로 $3 , 12 , 19 , 20$ 이므로 $S _{404} = 2020$ , $S _{405} = 2020 + 3 = 2023$ , $S _{406} = 2023 + 9 = 2032$ 모든 항이 양수이므로 $S _{n}$ 은 $n$ 이 커질수록 커지고, $S _{m} = 2032$ 인 $m$ 은 하나뿐이다. 따라서 $m = 406$

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