공통수학2함수AI발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

일대일함수의 합 명제의 반례

문제

실수 전체의 집합에서 정의된 두 함수 ff, gg에 대하여 명제 ‘ff, gg가 모두 일대일함수이면 함수 f+gf + g도 일대일함수이다.’는 거짓이다. 다음 중 이 명제의 반례가 되는 두 함수 ff, gg는? (단, (f+g)(x)=f(x)+g(x)( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x )이다.) [4점] ①f(x)=xf ( x ) = x, g(x)=xg ( x ) = x②f(x)=xf ( x ) = x, g(x)=−xg ( x ) = - x③f(x)=xf ( x ) = x, g(x)=2xg ( x ) = 2 x④f(x)=x2f ( x ) = x ^{2}, g(x)=−x2g ( x ) = - x ^{2}⑤f(x)=xf ( x ) = x, g(x)=3x+1g ( x ) = 3 x + 1

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②

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해설

반례는 ff, gg가 모두 일대일함수이지만 f+gf + g는 일대일함수가 아닌 경우이다. ④는 f(1)=f(−1)=1f ( 1 ) = f ( - 1 ) = 1이므로 ff가 일대일함수가 아니다. 즉 가정을 만족시키지 않는다. ①, ③, ⑤에서 (f+g)(x)( f + g ) ( x )는 각각 2x2 x, 3x3 x, 4x+14 x + 1이므로 모두 일대일함수이다. 즉 결론을 만족시킨다. ②에서 f(x)=xf ( x ) = x, g(x)=−xg ( x ) = - x는 모두 일대일함수이지만 (f+g)(x)=x+(−x)=0( f + g ) ( x ) = x + ( - x ) = 0은 상수함수이므로 일대일함수가 아니다. 따라서 반례가 되는 것은 ②이다. 답 ②

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#함수#반례#일대일함수#상수함수

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