일대일대응과 합성 보기

[출제의도] 일대일대응과 합성함수를 이용하여 조건을 만족시키는 함수를 추론한다. ㄱ. 함수 $f$는 일대일대응이고 집합 $X \cap Y$$= \left\{ 2 , 3 , 4 \right\}$의 모든 원소 $x$에 대하여 $g ( x ) - f ( x )$$= 1$이므로 $f ( x ) = 5$인 $x$가 존재하면 $g ( x ) = 6$이 되어 모순이다. 그러므로 집합 $X \cap Y$$= \left\{ 2 , 3 , 4 \right\}$의 모든 원소 $x$에 대하여 $f ( x )$$\leq 4$이고 함수 $f$는 일대일대응이므로 $\left\{ f ( 2 ) , f ( 3 ) , f ( 4 ) \right\}$$= \left\{ 2 , 3 , 4 \right\}$ $g ( x ) = f ( x ) + 1$에서 $\left\{ g ( 2 ) , g ( 3 ) , g ( 4 ) \right\}$$= \left\{ 3 , 4 , 5 \right\}$ 따라서 함수 $g \circ f$의 치역은 $Z$이다. (참) ㄴ. ㄱ에서 $\left\{ f ( 2 ) , f ( 3 ) , f ( 4 ) \right\}$$= \left\{ 2 , 3 , 4 \right\}$이고 함수 $f$는 일대일대응이므로 $f ( 1 )$$= 5$ 따라서 $f ^{- 1} ( 5 )$$= 1$ (거짓) ㄷ. ㄴ에서 $f ( 1 ) = 5$이므로 $f ( 3 )$$< g ( 2 )$$< f ( 1 )$에서 $f ( 3 )$$< g ( 2 )$$< 5$ …… ㉠ (ⅰ) $g ( 2 )$$= 3$인 경우 $f ( 2 )$$= g ( 2 ) - 1$$= 2$ 함수 $f$는 일대일대응이므로 $f ( 3 )$$= 3$ 또는 $f ( 3 )$$= 4$ 가 되어 ㉠을 만족시키지 않는다. (ⅱ) $g ( 2 )$$= 4$인 경우 $f ( 2 )$$= g ( 2 ) - 1$$= 3$ …… ㉡ ㉠, ㉡에서 $f ( 3 ) < 3$이므로 $f ( 3 )$$= 2$ 함수 $f$는 일대일대응이므로 $f ( 4 )$$= 4$ 따라서 $f ( 4 ) + g ( 2 )$$= 4 + 4$$= 8$ (거짓) 이상에서 옳은 것은 ㄱ이다.