일대일대응 조건 보기

[출제의도] ‘모든’과 ‘어떤’의 의미를 이해하여 함수의 개수를 추론한다. ㄱ. 함수 $f$가 일대일 대응이므로 역함수가 존재한다. 조건 (가)에서 집합 $X$의 모든 원소 $x$에 대하여 $( f {\circ} f ) ( x ) = x$이므로 집합 $X$의 모든 원소 $x$에 대하여 $f ( x ) = f ^{- 1} ( x )$이다. 따라서 $f ( 3 ) = f ^{- 1} ( 3 )$ (참) ㄴ. 조건 (나)에서 집합 $X$의 어떤 원소 $x$에 대하여 $f ( x ) = 2 x$이므로 집합 $X$의 원소 중 $f ( x ) = 2 x$를 만족하는 원소 $x$가 적어도 하나 존재한다. 따라서 $f ( 1 ) = 2$와 $f ( 2 ) = 4$ 중 적어도 하나는 성립한다. 따라서 $f ( 1 ) = 3$$( \ne 2 )$이면 $f ( 2 ) = 4$이다. (참) ㄷ. 조건 (나)에서 $f ( 1 ) = 2$와 $f ( 2 ) = 4$ 중 적어도 하나는 성립하므로 $f ( 1 ) = 2$이고 $f ( 2 ) \ne 4$일 때, $f ( 2 ) = 4$이고 $f ( 1 ) \ne 2$일 때, $f ( 1 ) = 2$이고 $f ( 2 ) = 4$일 때 로 나눌 수 있다. (ⅰ) $f ( 1 ) = 2$이고 $f ( 2 ) \ne 4$일 때, 조건 (가)에 의하여 $( f {\circ} f ) ( 1 ) = 1$이므로 $f ( f ( 1 ) ) = f ( 2 ) = 1$ 이때 조건 (가)에 의하여 $f ( 3 ) = 3$, $f ( 4 ) = 4$ 또는 $f ( 3 ) = 4$, $f ( 4 ) = 3$이므로 함수 $f$의 개수는 $2$이다.

(ⅱ) $f ( 2 ) = 4$이고 $f ( 1 ) \ne 2$일 때, 조건 (가)에 의하여 $( f \circ f ) ( 2 ) = 2$이므로 $f ( f ( 2 ) ) = f ( 4 ) = 2$ 이때 조건 (가)에 의하여 $f ( 1 ) = 1$, $f ( 3 ) = 3$ 또는 $f ( 1 ) = 3$, $f ( 3 ) = 1$ 이므로 함수 $f$의 개수는 $2$이다.

(ⅲ) $f ( 1 ) = 2$이고 $f ( 2 ) = 4$일 때, $f ( f ( 1 ) ) = f ( 2 ) = 4$$( \ne 1 )$이므로 $( f \circ f ) ( 1 ) = 1$이 성립하지 않는다. (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 가능한 함수 $f$의 개수는 $4$이다. (참) 따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 참이다.