일대일대응 조건

[출제의도] 일대일대응을 활용하여 추론하기 함수 $f ( x ) = a \left| x + 2 \right| - 4 x$는 (ⅰ) $x < - 2$일 때, $f \left( x \right) = a \left( - x - 2 \right) - 4 x$$= - \left( a + 4 \right) x - 2 a$ (ⅱ) $x \geq - 2$일 때, $f \left( x \right) = a \left( x + 2 \right) - 4 x$$= \left( a - 4 \right) x + 2 a$ 이므로 $\displaystyle f ( x ) = {\begin{cases} - \left( a + 4 \right) x - 2 a & \left( x < - 2 \right) \\ \left( a - 4 \right) x + 2 a & \left( x \geq - 2 \right) \end{cases}}$ 함수 $f$가 일대일대응이므로 두 직선 $y =$$- \left( a + 4 \right) x - 2 a$와 $y =$$\left( a - 4 \right) x + 2 a$의 기울기의 부호가 서로 같다. $- \left( a + 4 \right) \left( a - 4 \right) > 0$ $\left( a + 4 \right) \left( a - 4 \right) < 0$ $\therefore$ $- 4 < a < 4$ $- 4 < a < 4$를 만족시키는 정수 $a$는 $- 3$, $- 2$, $- 1$, $0$, $1$, $2$, $3$ 따라서 정수 $a$의 개수는 $7$