일대일대응 구간별 함수 보기

[출제의도] 일대일대응을 이용하여 추론하기 두 함수 $y = f \left( x \right)$, $y = g \left( x \right)$의 그래프는 그림과 같다.

함수 $y = h \left( x \right)$의 그래프는 $x < a$일 때 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 같고 $x \geq a$일 때 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $- b$만큼 평행이동한 것과 같다. ㄱ. $a = 0$일 때 $x < 0$에서 $h \left( x \right) = f \left( x \right)$이고 $x < 0$에서 함수 $y = h \left( x \right)$의 그래프는 그림과 같다.

$- 1 < x _{1} < 0$인 실수 $x _{1}$에 대하여 $h \left( x _{1} \right) = h \left( x _{2} \right)$이고 $- 2 < x _{2} < \mathit{-} 1$인 실수 $x _{2}$가 존재하므로 함수 $h \left( x \right)$는 일대일대응이 아니다. 따라서 $\left( 0 , k \right) \in A$를 만족시키는 실수 $k$는 존재하지 않는다. (참) ㄴ. $a = \mathit{-} 1$, $b = 4$일 때 함수 $h \left( x \right)$는 $\displaystyle h \left( x \right) = {\begin{cases} - \left( x + 1 \right) ^{2} + 2 & \left( x < \mathit{-} 1 \right) \\ \left( x + 3 \right) ^{2} - 2 & \left( x \geq \mathit{-} 1 \right) \end{cases}}$ 이므로 함수 $y = h \left( x \right)$의 그래프는 그림과 같다.

$x _{1} \ne x _{2}$인 임의의 실수 $x _{1}$, $x _{2}$에 대하여 $h \left( x _{1} \right) \ne h \left( x _{2} \right)$이므로 함수 $h \left( x \right)$는 일대일함수이고, 함수 $h \left( x \right)$의 치역은 실수 전체의 집합으로 공역과 같다. 따라서 함수 $h \left( x \right)$는 실수 전체의 집합에서 실수 전체의 집합으로의 일대일대응이므로 $\left( - 1 , 4 \right) \in A$ (참) ㄷ. 함수 $h \left( x \right)$가 일대일함수이려면 $x < a$에서 $h \left( x \right) = f \left( x \right)$이므로 $a \leq \mathit{-} 1$ $\cdots \cdots$ ㉠ $x \geq a$에서 $h \left( x \right) = g \left( x + b \right)$이므로 $a + b \geq 1$ $\cdots \cdots$ ㉡ 이어야 하고 ㉠, ㉡을 만족시키는 함수 $h \left( x \right)$에 대하여 $\left\{ h \left( x \right) \left| x < a \right\} = \left\{ f \left( x \right) \left| x < a \right\} = \left\{ y \left| y < f \left( a \right) \right\} \right. \right. \right.$ $\left\{ h \left( x \right) \left| x \geq a \right\} = \left\{ g \left( x + b \right) \left| x \geq a \right\} = \left\{ y \left| y \geq g \left( a + b \right) \right\} \right. \right. \right.$ 이므로 $f \left( a \right) \leq g \left( a + b \right)$이어야 한다. 일대일함수 $h \left( x \right)$가 일대일대응이 되기 위해서는 치역과 공역이 같아야 하므로 $f \left( a \right) = g \left( a + b \right)$ $\cdots \cdots$ ㉢ $g \left( x \right) = \left( x - 1 \right) ^{2} - 2 \geq \mathit{-} 2$이므로 $f \left( a \right) \geq \mathit{-} 2$, $\left( a + 3 \right) \left( a - 1 \right) \leq 0$, $- 3 \leq a \leq 1$ $\cdots \cdots$ ㉣ ㉠, ㉣에 의하여 함수 $h \left( x \right)$가 일대일대응이 되도록 하는 실수 $a$의 범위는 $- 3 \leq a \leq - 1$이고 $\left( m , b \right) \in A$를 만족시키는 실수 $b$가 존재하도록 하는 정수 $m$의 값은 $- 3$, $- 2$, $- 1$이다. (ⅰ) $m = \mathit{-} 3$일 때 ㉡에 의하여 $- 3 + b \geq 1$, $b \geq 4$ ㉢에 의하여 $f \left( - 3 \right) = g \left( - 3 + b \right)$ $- 2 = \left( - 3 + b \right) ^{2} - 2 \left( - 3 + b \right) - 1$ $b ^{2} - 8 b + 16 = 0$ $b = 4$이므로 $m + b = 1$

(ⅱ) $m = \mathit{-} 2$일 때 ㉡에 의하여 $- 2 + b \geq 1$, $b \geq 3$ ㉢에 의하여 $f \left( - 2 \right) = g \left( - 2 + b \right)$ $1 = \left( - 2 + b \right) ^{2} - 2 \left( - 2 + b \right) - 1$ $b ^{2} - 6 b + 6 = 0$ $\displaystyle b = 3 + \sqrt{3}$이므로 $\displaystyle m + b = 1 + \sqrt{3}$

(ⅲ) $m = \mathit{-} 1$일 때 ㉡에 의하여 $- 1 + b \geq 1$, $b \geq 2$ ㉢에 의하여 $f \left( - 1 \right) = g \left( - 1 + b \right)$ $2 = \left( - 1 + b \right) ^{2} - 2 \left( - 1 + b \right) - 1$ $b ^{2} - 4 b = 0$ $b = 4$이므로 $m + b = 3$

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 $\left\{ m + b \left| \left( m , b \right) \in A \right. \right.$이고 $m$은 정수$\}$$\displaystyle = \left\{ 1 , 1 + \sqrt{3} , 3 \right\}$ 이므로 모든 원소의 합은 $\displaystyle 1 + \left( 1 + \sqrt{3} \right) + 3 = 5 + \sqrt{3}$ (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ