일대일대응 구간별 함수

[출제의도] 일대일대응을 이해하여 식의 값을 구한다. 집합 $\left\{ x \left| 3 \leq x \leq 4 \right\} \right.$에서 정의된 함수 $y = x - 3$의 치역은 $\left\{ y \left| 0 \leq y \leq 1 \right\} \right.$이므로 함수 $f$가 일대일대응이 되기 위해서는 집합 $\left\{ x \left| 0 \leq x < 3 \right\} \right.$에서 정의된 함수 $y = ax ^{2} + b$의 치역이 $\left\{ y \left| 1 < y \leq 4 \right\} \right.$이어야 하고 함수 $y = f ( x )$의 그래프는 그림과 같아야 한다.

따라서 이차함수 $g ( x )$를 $g ( x ) = ax ^{2} + b$라 할 때, $g ( 0 ) = 4$, $g ( 3 ) = 1$이다. $g ( 0 ) = 4$에서 $b = 4$ $g ( 3 ) = 1$에서 $9 a + b = 1$ 즉, $\displaystyle a = \mathit{-} \frac{1}{3}$

이므로 $f ( 1 )$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{1}{3} \times 1 ^{2} + 4$$\displaystyle = \frac{11}{3}$ [보충 설명] 위의 풀이에서 이차함수 $g ( x ) = ax ^{2} + b$에 대하여 $g ( 0 ) = 1$, $g ( 3 ) = 4$인 경우에는 함수 $y = f ( x )$의 그래프가 그림과 같다.

이 경우에는 $f ( 0 ) = f ( 4 ) = 1$이므로 함수 $f ( x )$는 일대일대응이 아니다. 또한, 공역의 원소 $4$가 치역에 속하지 않으므로 함수 $f ( x )$는 일대일대응이 아니다.