공통수학2함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

일대일대응 개수

문제

집합 X={1,2,3,4,5,6}X = \left\{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 \right\}에 대하여 함수 ff는 XX에서 XX로의 일대일대응이다. 집합 XX에 속하는 각 원소 aa에 대하여 f(a)+f(7−a)=7f ( a ) + f ( 7 - a ) = 7 을 만족시키는 함수 ff의 개수를 구하시오. [4점]

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48

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해설

[출제의도] 함수의 성질을 이용하여 관련 문항을 해결할 수 있다. f(a)+f(7−a)=7f ( a ) + f ( 7 - a ) = 7에서 f(1)+f(6)=7f ( 1 ) + f ( 6 ) = 7 f(2)+f(5)=7f ( 2 ) + f ( 5 ) = 7 f(3)+f(4)=7f ( 3 ) + f ( 4 ) = 7 집합 XX에서 합이 77이 되는 두 수의 순서쌍은 (1,6),(2,5),(3,4)\left( 1 , 6 \right) , \left( 2 , 5 \right) , \left( 3 , 4 \right)로 33가지이다. 집합 XX에서 합이 77이 되는 두 수의 순서쌍은 합이 77이 되는 순서쌍에 대응한다. 따라서 순서쌍끼리 일대일대응이 되는 경우의 수는 3!3 !이고 각 대응에서 순서를 고려하는 경우의 수는 22이므로 구하는 함수의 개수는 3!×23=483 ! \times 2 ^{3} = 48

태그

#일대일대응#경우의 수

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