공통수학1다항식의 연산AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

일차식이 되는 조건

문제

두 다항식 P=2x3+ax2yxy2+4x2+3xyy+5P = 2 x ^{3} + ax ^{2} y - xy ^{2} + 4 x ^{2} + 3 xy - y + 5, Q=2x3x2y+3xy2+bx2xy+2y1Q = 2 x ^{3} - x ^{2} y + 3 xy ^{2} + bx ^{2} - xy + 2 y - 1에 대하여 PQP - Qxx에 대하여 내림차순으로 정리하면 xx에 대한 일차식이 된다. 두 상수 a,ba , b에 대하여 a+ba + b의 값을 구하시오. [4점]

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해설

x3x ^{3}항은 없어지므로 PQ=(a+1)x2y4xy2+(4b)x2+4xy3y+6P - Q = ( a + 1 ) x ^{2} y - 4 xy ^{2} + ( 4 - b ) x ^{2} + 4 xy - 3 y + 6 xx에 대하여 내림차순으로 정리하면 PQ=[(a+1)y+4b]x2+(4y2+4y)x3y+6P - Q = \left[ ( a + 1 ) y + 4 - b \right] x ^{2} + ( - 4 y ^{2} + 4 y ) x - 3 y + 6 이것이 xx에 대한 일차식이 되려면 x2x ^{2}의 계수가 yy의 값에 관계없이 항상 00이어야 하므로 a+1=0,4b=0a + 1 = 0 , 4 - b = 0a=1,b=4a = - 1 , b = 4 이때 xx의 계수 4y2+4y- 4 y ^{2} + 4 y00이 아니므로 PQP - Qxx에 대한 일차식이다. 따라서 a+b=3a + b = 3

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