일차함수 삼각형 넓이

[출제의도] 일차함수의 그래프와 삼각형의 닮음의 성질을 이용하여 점의 좌표를 구한다. 일차함수 $\displaystyle y = - \frac{3}{4} x + 3$의 그래프가 $x$축과 만나는 점을 $\mathrm{B}$라 하고 원점을 $\mathrm{O}$라 하자.

일차함수 $\displaystyle y = - \frac{3}{4} x + 3$의 그래프의 $y$절편은 $x = 0$을 대입하면 $y = 3$ 일차함수 $\displaystyle y = - \frac{3}{4} x + 3$의 그래프의 $x$절편은 $y = 0$을 대입하면 $\displaystyle 0 = - \frac{3}{4} x + 3$ $\displaystyle \frac{3}{4} x = 3$이므로 $x = 4$ 따라서 삼각형 $\mathrm{AOB}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$ 한편 두 직각삼각형 $\mathrm{AQP}$, $\mathrm{AOB}$에서 $\mathrm{\angle} QAP = \angle OAB$이므로 $\mathrm{\triangle} AQP \backsim \triangle AOB$ ($\mathrm{AA}$닮음) 따라서 $\displaystyle \mathrm{\triangle} AQP = \frac{8}{3}$, $\mathrm{\triangle} AOB = 6$에서 $\mathrm{\triangle} AQP : \triangle AOB$$\displaystyle = \frac{8}{3} : 6$$= 4 : 9$ 삼각형 $\mathrm{AQP}$와 삼각형 $\mathrm{AOB}$의 넓이의 비가 $4 : 9$이므로 두 삼각형 $\mathrm{AQP}$, $\mathrm{AOB}$의 닮음비는 $2 : 3$이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{AO}} = 3$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AQ}} = 2$이므로 점 $\mathrm{Q}$의 $y$좌표는 $1$이고 점 $\mathrm{P}$의 $y$좌표는 점 $\mathrm{Q}$의 $y$좌표와 같으므로 $1$이다. [다른풀이] 일차함수 $\displaystyle y = - \frac{3}{4} x + 3$의 그래프의 $y$절편이 $3$이므로 점 $\mathrm{A} \left( 0 , 3 \right)$이다. 점 $\mathrm{P}$의 $y$좌표를 $k$라 하고 $x$좌표를 구하면 $\displaystyle k = - \frac{3}{4} x + 3$ 에서 $\displaystyle x = \frac{4}{3} ( 3 - k )$ 따라서 삼각형 $\mathrm{AQP}$의 넓이는 $\triangle \mathrm{AQP}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{AQ}}} \times {\overline{\mathrm{QP}}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \left( 3 - k \right) \times \frac{4}{3} \left( 3 - k \right)$$\displaystyle = \frac{2}{3} \left( 3 - k \right) ^{2}$ 주어진 조건에서 $\displaystyle \frac{2}{3} \left( 3 - k \right) ^{2}$$\displaystyle = \frac{8}{3}$ $\left( 3 - k \right) ^{2} = 4$ $k ^{2} - 6 k + 5 = 0$ 따라서 $k = 1$ 또는 $k = 5$ $0 < k < 3$이므로 $k = 1$ 따라서 점 $\mathrm{P}$의 $y$좌표는 $1$이다.