일차함수 극한 존재

일차함수 $f \left( x \right)$에 대하여 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{f \left( x + 2 \right)}{x \left( f \left( x \right) - 3 \right)}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 의 값이 존재한다. (ⅰ) $f \left( 0 \right) - 3 = 0$, 즉 $f \left( 0 \right) = 3$일 때 $f \left( x \right) = px + 3$ ($p \neq 0$)이라 하면 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{f \left( x + 2 \right)}{x \left( f \left( x \right) - 3 \right)} = \lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{p \left( x + 2 \right) + 3}{px ^{2}}$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ 에서 $x \rightarrow 0$일 때 (분모)$\rightarrow 0$이고 극한값이 존재하므로 (분자)$\rightarrow 0$이어야 한다. 즉 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\left\{ p \left( x + 2 \right) + 3 \right\}} = 0$이므로 $2 p + 3 = 0$ $\therefore$ $\displaystyle p = - \frac{3}{2}$ 이때 ㉡에서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} \frac{- \frac{3}{2} x}{- \frac{3}{2} x ^{2}} = \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} \frac{1}{x}$ 이 되어 극한값이 존재하지 않는다. (ⅱ) $f \left( 0 \right) - 3 \neq 0$, 즉 $f \left( 0 \right) \neq 3$일 때 ㉠에서 $x \rightarrow 0$일 때 (분모)$\rightarrow 0$이고 극한값이 존재하므로 (분자)$\rightarrow 0$이다. 즉, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} f \left( x + 2 \right) = 0$이므로 $f \left( 2 \right) = 0$ $f \left( x \right)$는 일차함수이므로 상수 $p$ ($p \neq 0$)에 대하여 $f \left( x \right) = p \left( x - 2 \right)$ 라 할 수 있다. 이때 $a = 3$일 때 극한값 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3} \frac{f \left( x + 2 \right)}{x \left( f \left( x \right) - 3 \right)}$ 가 존재하지 않는다. $x \rightarrow 3$일 때 분자는 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3} f \left( x + 2 \right) = f \left( 5 \right) = 3 p \neq 0$ 이므로, 극한값이 존재하지 않기 위해서는 (분모)$\rightarrow 0$이어야 한다. 즉, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3} x \left( f \left( x \right) - 3 \right) = 3 \left( f \left( 3 \right) - 3 \right) = 0$ 에서 $f \left( 3 \right) = 3$이므로 $p \left( 3 - 2 \right) = 3$ $\therefore$ $p = 3$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $f \left( x \right) = 3 \left( x - 2 \right)$ 이므로 $f \left( 4 \right) = 3 \times \left( 4 - 2 \right) = 6$