일차변환 행렬의 거듭제곱

주어진 일차변환은 원점을 중심으로 $45 ^{\circ}$회전이동한 다음, 원점을 중심으로 $\displaystyle \frac{1}{2}$배로 축소하는 일차변환이다. $\displaystyle A = {\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & & 0 \\ 0 & & \frac{1}{2} \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} \cos 45 ^\circ & & - \sin 45 ^\circ \\ \sin 45 ^\circ & & \cos 45 ^\circ \end{pmatrix}}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} {\begin{pmatrix} \cos 45 ^\circ & & - \sin 45 ^\circ \\ \sin 45 ^\circ & & \cos 45 ^\circ \end{pmatrix}}$ $\displaystyle A ^{4} = \left( \frac{1}{2} \right) ^{4} {\begin{pmatrix} \cos 180 ^\circ & & - \sin 180 ^\circ \\ \sin 180 ^\circ & & \cos 180 ^\circ \end{pmatrix}}$$\displaystyle = \frac{1}{16} {\begin{pmatrix} - 1 & & 0 \\ 0 & & - 1 \end{pmatrix}}$ $\displaystyle \therefore A ^{4} {\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}} = \frac{1}{16} {\begin{pmatrix} - 1 & & 0 \\ 0 & & - 1 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}}$$\displaystyle = \frac{1}{16} \begin{pmatrix} - 1 \\ - 1 \end{pmatrix}$$\displaystyle = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ $\displaystyle \therefore a = - \frac{1}{16} , b = - \frac{1}{16}$ $\displaystyle \therefore \frac{a + b i}{1 + i} = - \frac{1}{16} \times \frac{1 + i}{1 + i}$$\displaystyle = - \frac{1}{16}$