공통수학1이차방정식수능 기출기본 문제 (3점 중반)

이중근호와 근과 계수

문제

유리수 α,β\alpha , \beta가 α−β+α+3β=16+263\displaystyle \alpha - \beta + \sqrt{\alpha + 3 \beta} = \sqrt{16 + 2 \sqrt{63}}을 만족하고 이차방정식 x2+ax+b=0x ^{2} + ax + b = 0 의 두 근일 때, a2+b2a ^{2} + b ^{2} 의 값을 구하시오. [3점]

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41

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해설

[출제의도] 근과 계수와의 관계를 이해하고 문제 해결하기 α−β+α+3β=3+7\displaystyle \alpha - \beta + \sqrt{\alpha + 3 \beta} = 3 + \sqrt{7}이고, α,β\alpha , \beta가 유리수이므로 α−β=3\alpha - \beta = 3, α+3β=7\alpha + 3 \beta = 7를 만족하는 α=4,β=1\alpha = 4 , \beta = 1 근과 계수와의 관계에 의해 α+β=−a=5\alpha + \beta = - a = 5, αβ=b=4\alpha \beta = b = 4 ∴a=−5,b=4\therefore a = - 5 , b = 4 따라서 a2+b2=25+16=41a ^{2} + b ^{2} = 25 + 16 = 41

태그

#이중근호#근과 계수의 관계

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