이중근호의 값이 자연수가 되는 n의 개수

합이 $n$, 곱이 $n - 1$ 인 두 수는 $n - 1$, $1$ 이므로 $\displaystyle \sqrt{n + 2 \sqrt{n - 1}} = \sqrt{n - 1} + 1$ $\displaystyle \sqrt{n - 2 \sqrt{n - 1}} = \left| \sqrt{n - 1} - 1 \right|$ $n \geq 2$ 에서 $\displaystyle \sqrt{n - 1} \geq 1$ 이므로 $\displaystyle \left| \sqrt{n - 1} - 1 \right| = \sqrt{n - 1} - 1$ 주어진 식의 값은 $\displaystyle ( \sqrt{n - 1} + 1 ) + ( \sqrt{n - 1} - 1 ) = 2 \sqrt{n - 1}$ $\displaystyle 2 \sqrt{n - 1}$ 이 자연수이면 $\displaystyle \sqrt{n - 1}$ 은 유리수이므로 $n - 1$ 은 제곱수이어야 한다. $1 \leq n - 1 \leq 49$ 이므로 $n - 1 = 1 ^{2} , 2 ^{2} , \cdots , 7 ^{2}$ 따라서 $n$ 의 개수는 $7$