공통수학1이차방정식수능 기출기본 문제 (3점 중반)

이중근호 근을 가진 이차방정식

문제

계수가 유리수인 xx 에 대한 이차방정식 x2+ax+b=0x ^{2} + ax + b = 0 의 한 근이 7−212\displaystyle \sqrt{7 - 2 \sqrt{12}} 일 때, a2+b2a ^{2} + b ^{2} 의 값은? [3점] ①1010②1313③1717④2020⑤2525

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③

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해설

[출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 계산하기 주어진 이차방정식의 계수가 유리수이므로 한 근이 7−212=2−3\displaystyle \sqrt{7 - 2 \sqrt{12}} = 2 - \sqrt{3} 이면 다른 한 근은 2+3\displaystyle 2 + \sqrt{3} 이다. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 (2−3)+(2+3)=−a\displaystyle \left( 2 - \sqrt{3} \right) + \left( 2 + \sqrt{3} \right) = - a (2−3)(2+3)=b\displaystyle \left( 2 - \sqrt{3} \right) \left( 2 + \sqrt{3} \right) = b 이므로 a=−4,b=1a = - 4 , b = 1 ∴a2+b2=17\therefore a ^{2} + b ^{2} = 17

태그

#이중근호#켤레근#근과 계수의 관계

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