공통수학1이차방정식수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

이중근호 다항식 보기

문제

계수가 유리수인 xx에 대한 두 다항식 f(x)f ( x ), g(x)g ( x )에 대하여 f(x)=x2+ax−4f ( x ) = x ^{2} + ax - 4이고 g(x)g ( x )는 이차 이상의 다항식이다. 소수인 자연수 bb에 대하여 f(x)f ( x ), g(x)g ( x )가 다음 조건을 모두 만족한다.

(가) f(b+1−2b)=0\displaystyle f \left( \sqrt{b + 1 - 2 \sqrt{b}} \right) = 0 (나) g(−b+1+2b)=1+5\displaystyle g \left( - \sqrt{b + 1 + 2 \sqrt{b}} \right) = 1 + \sqrt{5}

이 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

<보 기>
ㄱ. f(−b−1)=0\displaystyle f ( - \sqrt{b} - 1 ) = 0 ㄴ. a=2,b=5a = 2 , b = 5 ㄷ. g(x)g ( x )를 f(x)f ( x )로 나누면 나머지는 xx이다.

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 보기
③

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해설

[출제의도] 방정식의 근의 성질 추론하기 (가) f(b−1)=0\displaystyle f ( \sqrt{b} - 1 ) = 0 (나) g(−b−1)=1+5\displaystyle g ( - \sqrt{b} - 1 ) = 1 + \sqrt{5} ㄱ. b−1\displaystyle \sqrt{b} - 1이 이차방정식 x2+ax−4=0x ^{2} + ax - 4 = 0의 근이므로 −b−1\displaystyle - \sqrt{b} - 1도 x2+ax−4=0x ^{2} + ax - 4 = 0의 근 따라서 f(−b−1)=0\displaystyle f ( - \sqrt{b} - 1 ) = 0 (참) ㄴ. f(x)=x2+ax−4=0f ( x ) = x ^{2} + ax - 4 = 0의 두 근이 b−1\displaystyle \sqrt{b} - 1, −b−1\displaystyle - \sqrt{b} - 1이므로 이차방정식의 근과 계수와의 관계에 의하여 a=2,b=5a = 2 , b = 5 (참) ㄷ. g(x)=f(x)Q(x)+px+qg ( x ) = f ( x ) Q ( x ) + px + q라 하면 (나)에서 1+5=p(−5−1)+q\displaystyle 1 + \sqrt{5} = p ( - \sqrt{5} - 1 ) + q 그러므로 p=−1,q=0p = - 1 , q = 0 따라서 g(x)g ( x )를 f(x)f ( x )로 나눈 나머지는 −x- x (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ

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#이중근호#나머지

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